向量乘什么等于投影(向量与投影之间存在何种关系？)

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向量与投影的关系可以用以下公式表示：设向量 $\MATHBF{V} = (V_1, V_2, \LDOTS, V_N)$ 和点 $P(X_0, Y_0, Z_0)$，则向量 $\MATHBF{V}$ 在点 $P$ 处的投影可以表示为： $$ \TEXT{PROJ}_{\MATHBF{V}} \MATHBF{V} = \FRAC{\MATHBF{V} \CDOT \MATHBF{R}}{|\MATHBF{R}|} \MATHBF{R}, $$ 其中 $\MATHBF{R}$ 是点 $P$ 的单位向量。这个公式表明，向量 $\MATHBF{V}$ 在点 $P$ 的投影是它与点 $P$ 的单位向量 $\MATHBF{R}$ 的点积除以 $\MATHBF{R}$ 的长度。

不堪回首

向量的投影是指向量在某一方向上的投影长度。设向量 $\VEC{U}$ 和 $\VEC{V}$ 分别为两个向量，$\VEC{U} \CDOT \VEC{V}$ 表示这两个向量的点积（内积），而 $|\VEC{U}|$ 和 $|\VEC{V}|$ 分别表示向量 $\VEC{U}$ 和 $\VEC{V}$ 的长度或模。根据投影的定义，如果有一个向量 $\VEC{W}$ 与 $\VEC{U}$ 和 $\VEC{V}$ 都垂直，那么 $\VEC{W}$ 是 $\VEC{U}$ 和 $\VEC{V}$ 的投影。即： $$\VEC{W} = \FRAC{\VEC{U} \CDOT \VEC{V}}{|\VEC{U}| \CDOT |\VEC{V}|} \VEC{U} \FRAC{\VEC{U} \CDOT \VEC{V}}{|\VEC{U}|^2} \VEC{V}$$ 这里，$\FRAC{\VEC{U} \CDOT \VEC{V}}{|\VEC{U}|^2}$ 表示的是 $\VEC{U}$ 和 $\VEC{V}$ 的点积除以它们的模长的平方，而 $\FRAC{\VEC{U} \CDOT \VEC{V}}{|\VEC{U}| \CDOT |\VEC{V}|}$ 表示的是 $\VEC{U}$ 和 $\VEC{V}$ 的点积除以它们模长的乘积。因此，向量 $\VEC{W}$ 就是 $\VEC{U}$ 和 $\VEC{V}$ 的投影。

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